Показать скрытый текст платонизм бывает и у математиков
Является ли Ваша философия математики платонистской или нет,
это можно определить с помощью следующего теста. Рассмотрим
последовательность простых чисел-близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43), ...
Гипотеза: существует бесконечно много пар близнецов. Это предполо-
жение не доказано (и не опровергнуто) до сих пор. Верите ли Вы, что
несмотря ни на что гипотеза должна быть "объективно" истинной или
ложной? Для обоснования своей веры Вы можете воспользоваться
следующим рассуждением. Представим себе, что мы продвигаемся
вперед вдоль последовательности натуральных чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,...
и время от времени встречаем пары близнецов:
(3,5), (5,7), (11,13), (17,19), (29,31), (41,43),...
Существует ведь только две возможности: а) мы доходим до последней
пары близнецов и больше их не встречаем (в этом случае гипотеза
оказывается ложной), б) пары близнецов появляются все время (тогда
гипотеза истинна).
Рассуждая таким образом, Вы демонстрируете свой платонизм. Вы
привыкли оперировать натуральными числами так, как будто они
составляют некий специфический "мир", который очень похож на мир
повседневных вещей. Вы привыкли думать, что на практике любое
достаточно определенное утверждение должно быть либо истинным,
либо ложным. Поэтому Вы не в состоянии представить третью
возможность: количество пар близнецов не является ни конечным, ни
бесконечным. Однако такая возможность не будет нас удивлять, если мы
осознаем, что система натуральных чисел содержит не только некоторую
информацию о действительном мире, но и множество элементов
фантазии. Почему Вы полагаете, что этот фантастический мир людям
удалось "сфантазировать" так идеально правильно, что на вопрос о
количестве близнецов обязательно будет существовать ответ?
Французский математик Шарль Эрмит сказал как-то: он убежден в
том, что числа и функции − это не изобретения математиков, они
существуют независимо от нас, как существуют вещи реального мира.
Было время, когда это высказывание цитировалось как свидетельство
"стихийного материализма выдающихся ученых".
Однако такие высказывания математиков свидетельствуют совсем
о другом − об их стихийном платонизме. Платонистское отношение
математиков к объектам своих исследований обусловлено самой
природой математического метода. Но, разумеется, при решении
методологических вопросов такой философии придерживаться уже
нельзя. Как трудно, однако, изменить привычки, обретенные в ходе
повседневной работы, когда переходишь в сферу методологии...
Но сначала − о платонизме самого Платона (427−347 гг. до н.э.),
который жил на закате "золотого века" Древней Греции. В 431−404 гг. до
н.э. велась обескровившая Грецию Пелопоннесская война, а в 337 г. −
через 10 лет после смерти Платона − Грецию покорила Македония. В
своей конкретной форме философия Платона сформировалась под
влиянием греческой математики.
Развитие греческой математики в VI−V вв. до н.э. привело к
образованию математических объектов в современном смысле этого
слова: представления о числах, точках, прямых и т.д. стабилизировались
и тем самым оторвались от своего первоисточника − свойств и
отношений объектов реального мира. "Математическая прямая не имеет
ширины, а точка вообще не имеет размеров". Ничего в точности такого в
реальном мире нет: вместо прямых встречаются более или менее гладкие
полосы, а вместо точек − пятна различной формы и размеров. Однако без
этого перехода к идеализированному (но зато стабильному, застывшему)
миру точек, прямых и т.д. математические знания остались бы на уровне
ремесла, так и не достигнув уровня науки. Только идеализация
(упрощение, исключение второстепенных деталей) сделала возможным
такой эффективный инструмент, как евклидова геометрия.
В свою очередь, понятие натурального числа (1, 2, 3, 4, ...)
возникло в ходе оперирования совокупностями несливающихся
предметов. Процесс становления этого понятия завершился по-существу
уже в VI в. до н.э., когда во времена Пифагора были доказаны первые
теоремы о системе натуральных чисел в целом, например, теорема о том,
что простых чисел существует "больше любого наперед заданного
количества". Ясно, что об эмпирической проверке таких утверждений
речи быть не может. Но в то время понятие натурального числа уже
оторвалось от своего реального источника − "количественных
закономерностей совокупностей несливающихся предметов", и стало
функционировать самостоятельно − как модель. Натуральный ряд чисел
− это идеализация упомянутых количественных закономерностей.
Человек абстрагировал его на основе практического опыта с небольшими
совокупностями (1, 2, 3, 10, 100, 1000 и т.д. предметов). Для
совокупностей гораздо больших (многие миллионы предметов) он
предположил аналогичные закономерности и тем самым идеализировал
(а может быть, как заметил П. К. Рашевский [1973], даже исказил)
реальную ситуацию.
В самом деле, количество атомов в данном листе бумаги − четное
или нечетное? С точки зрения традиционной арифметики оно "обязано"
(в каждый момент времени) быть либо четным, либо нечетным. В
действительности же лист бумаги никакого точного числа атомов не
имеет (хотя бы из-за сотен тысяч ядерных реакций, происходящих
каждую секунду под воздействием космических лучей). Кроме того,
согласно новейшим космологическим теориям, полное число
элементарных частиц во Вселенной значительно меньше 10200. Как мы
должны тогда относиться к утверждениям вроде "10200 +1 − нечетное
число"? Очевидно, таким образом, что арифметика занимается не только
практически полезными алгоритмами вычисления, но и вещами
совершенно фантастическими, лишенными непосредственного реального
смысла.
Разумеется, древние греки не могли видеть все это столь ясно.
Рассуждая о количестве простых чисел, они думали, что обсуждают вещи
столь же реальные, как те совокупности предметов, от которых понятие
натурального ряда было абстрагировано.
Итак, первый в истории математики процесс идеализации
закончился стабилизацией понятий о числах, точках, прямых и т.д. Эти
понятия определились и надолго стали общепринятыми в обществе
математиков. Этот момент наступил еще в V в. до н.э. Стабилизация
понятий свидетельствует об их отделении от реальных объектов,
обращение с которыми привело людей к выработке этих понятий.
Ведь застывшим может стать только понятие, уже оторванное от своих
реальных прообразов, продолжающих самостоятельную жизнь и
содержащих огромное разнообразие второстепенных и изменяющихся
нюансов. Работая в области геометрии, математик исследует не
непосредственно отношения реальных объектов, а свое сложившееся
(застывшее) представление о них − идеализированный "мир" точек,
прямых и т.д. Если бы он во время своих размышлений постоянно
вспоминал об особенностях реальных вещей (о степени их гладкости и
т.п.), то вместо науки (общих, эффективных и далеко идущих геометри-
ческих методов) мы имели бы только простейшие, специфические
алгоритмы, найденные путем проб и ошибок или с помощью
элементарной интуиции. Именно на таком уровне остановилось развитие
математики Древнего Востока.
Тема: 
Сообщение от solol
Ответить с цитированием
Социальные закладки