Одесса: 6°С (вода 8°С)
Киев: 1°С
Львов: 3°С

Тема: Задачки для старшеклассников (математика).

Ответить в теме
Показано с 1 по 9 из 9
  1. Вверх #1
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1

    По умолчанию Задачки для старшеклассников (математика).

    Стало мне как-то грустно, когда я позадавал задачки детям знакомых - решают единицы, причем большинство говорит, что таких задач в школе видом не видывали, слыхом не слыхивали. Решил создать тему для тех, у кого дети ходят в старшие классы и имеют проблемы с подготовкой в хорошие вузы по математике. Если тема не заглохнет, может быть, будет полезно... Задачи простые, но необычные, знаний много не надо, а думать приходится, решаются все в несколько строчек. Если в течение недели ответа не будет, разберу решение, но надеюсь, до этого не дойдет. Итак, тема первая - теория чисел.

    Задачка 1.
    Известно, что x,y,z - простые числа. Известно также, что x+y+z = 118 и ху+yz+xz =2075. Найти эти числа.
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;


  2. Вверх #2
    Ключевая фраза – простые числа.
    Т.к сумма трех простых – четное число, то одно из неизвестных тоже четное число. А единственное четное из простых – это 2. Таким образом, имеем 2 уравнения с 2-мя неизвестными. Дальше идет классическое выражение одного неизвестного ч/з другое. Считать лень.

  3. Вверх #3
    Живёт на форуме Аватар для Bird
    Пол
    Женский
    Сообщений
    4,459
    Репутация
    2446
    Про 2-ку мне ребенок подсказал, а дальше у меня ерунда вышла, может и в вычислениях ошиблась.
    Потом просто перебором снизу получилось 2, 19, 97.
    Пролетая над Череповцом

  4. Вверх #4
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1
    Это дети или взрослые решали? Если дети, то молодцы! Кстати, вычисления совсем простые, выражать и подставлять ничего не надо - двойка во втором уравнении выносится за скобки, в скобках стоит сумма нечетных простых чисел, которая равна 116. Отсюда устно находится произведение этих чисел, простые делители до 13 легко проверяются по признакам делимости, а 17 и 19 проверяются непосредственно. Задачка совсем несложная.
    Следующая задачка, посложнее.
    Надо доказать, что не существует такой степени числа 2, что перестановкой цифр в нем было бы возможно получить другую степень числа 2.
    Последний раз редактировалось Буджак; 02.09.2012 в 10:01.
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;

  5. Вверх #5
    Живёт на форуме Аватар для Bird
    Пол
    Женский
    Сообщений
    4,459
    Репутация
    2446
    Идея детская , но дальше у ребенка не сошлось, потому что хочется же выпендриваться и решать устно, а концентрации не хватает.
    На 2-ю задачу дитю базы точно не хватит.
    Пролетая над Череповцом

  6. Вверх #6
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1
    А лет дитю сколько? Признак делимости на 9 проходили? Число и сумма его цифр имеют равные остатки при делении на 9, вот и вся база, которая тут нужна.
    Последний раз редактировалось Буджак; 02.09.2012 в 18:42.
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;

  7. Вверх #7
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1
    Что-то не появилось решения... Если не появится, то разберем через пару дней. А пока самая простая задачка для разминки - надо написать наименьшее число, которое
    а) делится нацело на 25
    б) сумма цифр которого делится нацело на 25
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;

  8. Вверх #8
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1
    Что-то нет никого с идеями. Тогда решу на 3/4... Если переставлять цифры в записи числа, то сумма цифр не изменится. Значит, все числа, полученные перестановками, будут иметь равные остатки при делении на 9. Выпишем остатки от деления на 9 первых степеней двойки:
    2^1 = 0*9+2
    2^2 = 0*9+4
    2^3 = 0*9+8
    2^4 = 1*9+7
    2^5 = 3*9+5
    2^6 = 7*9+1
    2^7 = 14*9+2
    .......................
    То есть после шестой степени остатки при делении на 9 повторяются... А перестановкой цифр могут быть получены те и только те числа, которые дают равные остатки при делении на 9. Дальше совсем просто.

    Тут просят для более маленьких что-то написать, но у меня для 2 класса ничего нет. 5-6 класс это минимум, задача постом выше как раз для класса пятого...
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;

  9. Вверх #9
    Не покидает форум Аватар для Буджак
    Пол
    Мужской
    Адрес
    Одесса
    Сообщений
    17,360
    Репутация
    3668
    Записей в дневнике
    1
    Дорешаю до конца, раз никого нет. Числа, которые могут быть получены перестановками цифр (у которых остатки от деления на 9 равны), которые одновременно являются степенью двойки, отличаются друг от друга в 2^(6k) раз (k- целое положительное число). Даже если k самое маленькое, то такие степени двойки отличаются аж в 64 раза. То есть у них не может быть одинакового числа цифр, следовательно, одно не может быть получено из другого перестановкой цифр.
    Со сложными задачками повременим, добавлю еще одну детскую задачку.
    Чему равна дробь

    Б*Е*Н*Д*Е*Р
    ___________
    С*Т*У*Л

    если эта дробь по условию существует, а разные цифры обозначены разными буквами. Тут в числителе и знаменателе стоит произведение цифр.
    OH, East is East, and West is West, and never the twain shall meet,
    Till Earth and Sky stand presently at God’s great Judgment Seat;


Ответить в теме

Социальные закладки

Социальные закладки

Ваши права

  • Вы не можете создавать новые темы
  • Вы не можете отвечать в темах
  • Вы не можете прикреплять вложения
  • Вы не можете редактировать свои сообщения