Задачки для старшеклассников (математика).

[Буджак]

Стало мне как-то грустно, когда я позадавал задачки детям знакомых - решают единицы, причем большинство говорит, что таких задач в школе видом не видывали, слыхом не слыхивали. Решил создать тему для тех, у кого дети ходят в старшие классы и имеют проблемы с подготовкой в хорошие вузы по математике. Если тема не заглохнет, может быть, будет полезно... Задачи простые, но необычные, знаний много не надо, а думать приходится, решаются все в несколько строчек. Если в течение недели ответа не будет, разберу решение, но надеюсь, до этого не дойдет. Итак, тема первая - теория чисел.

Задачка 1.
Известно, что x,y,z - простые числа. Известно также, что x+y+z = 118 и ху+yz+xz =2075. Найти эти числа.

[Кладезь]

Ключевая фраза – простые числа.
Т.к сумма трех простых – четное число, то одно из неизвестных тоже четное число. А единственное четное из простых – это 2. Таким образом, имеем 2 уравнения с 2-мя неизвестными. Дальше идет классическое выражение одного неизвестного ч/з другое. Считать лень.

[Bird]

Про 2-ку мне ребенок подсказал, а дальше у меня ерунда вышла, может и в вычислениях ошиблась.
Потом просто перебором снизу получилось 2, 19, 97.

[Буджак]

Это дети или взрослые решали? Если дети, то молодцы! Кстати, вычисления совсем простые, выражать и подставлять ничего не надо - двойка во втором уравнении выносится за скобки, в скобках стоит сумма нечетных простых чисел, которая равна 116. Отсюда устно находится произведение этих чисел, простые делители до 13 легко проверяются по признакам делимости, а 17 и 19 проверяются непосредственно. Задачка совсем несложная.
Следующая задачка, посложнее.
Надо доказать, что не существует такой степени числа 2, что перестановкой цифр в нем было бы возможно получить другую степень числа 2.

[Bird]

Идея детская , но дальше у ребенка не сошлось, потому что хочется же выпендриваться и решать устно, а концентрации не хватает.
На 2-ю задачу дитю базы точно не хватит.

[Буджак]

А лет дитю сколько? Признак делимости на 9 проходили? Число и сумма его цифр имеют равные остатки при делении на 9, вот и вся база, которая тут нужна.

[Буджак]

Что-то не появилось решения... Если не появится, то разберем через пару дней. А пока самая простая задачка для разминки - надо написать наименьшее число, которое
а) делится нацело на 25
б) сумма цифр которого делится нацело на 25

[Буджак]

Что-то нет никого с идеями. Тогда решу на 3/4... Если переставлять цифры в записи числа, то сумма цифр не изменится. Значит, все числа, полученные перестановками, будут иметь равные остатки при делении на 9. Выпишем остатки от деления на 9 первых степеней двойки:
2^1 = 0*9+2
2^2 = 0*9+4
2^3 = 0*9+8
2^4 = 1*9+7
2^5 = 3*9+5
2^6 = 7*9+1
2^7 = 14*9+2
.......................
То есть после шестой степени остатки при делении на 9 повторяются... А перестановкой цифр могут быть получены те и только те числа, которые дают равные остатки при делении на 9. Дальше совсем просто.

Тут просят для более маленьких что-то написать, но у меня для 2 класса ничего нет. 5-6 класс это минимум, задача постом выше как раз для класса пятого...

[Буджак]

Дорешаю до конца, раз никого нет. Числа, которые могут быть получены перестановками цифр (у которых остатки от деления на 9 равны), которые одновременно являются степенью двойки, отличаются друг от друга в 2^(6k) раз (k- целое положительное число). Даже если k самое маленькое, то такие степени двойки отличаются аж в 64 раза. То есть у них не может быть одинакового числа цифр, следовательно, одно не может быть получено из другого перестановкой цифр.
Со сложными задачками повременим, добавлю еще одну детскую задачку.
Чему равна дробь

Б*Е*Н*Д*Е*Р
___________
С*Т*У*Л

если эта дробь по условию существует, а разные цифры обозначены разными буквами. Тут в числителе и знаменателе стоит произведение цифр.